Georg Cantor

Georg Cantor

Resumen

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 1918) fue la primera persona que pudo formalizar la noción de infinito. Es uno de los momentos más emocionantes en la historia de las matemáticas. Se parece al momento en que contamos por primera vez.

Introducción

Hasta finales del siglo XIX, ningún matemático había logrado describir el infinito más allá de la idea de que es un valor absolutamente inalcanzable. Georg Cantor fue el primero en abordar a fondo un concepto tan abstracto; y lo hizo desarrollando la Teoría de conjuntos, que le llevó a la sorprendente conclusión de que hay infinitos de distintos tamaños. Ante el rechazo a esas ideas poco intuitivas, Cantor dudó de sí mismo y sufrió sucesivas crisis nerviosas, hasta morir internado en un psiquiátrico. Hoy en día, no se entienden las matemáticas sin sus revolucionarios trabajos.

Aunque nació en San Petersburgo (Rusia) — a donde sus padres habían emigrado desde Dinamarca—, Georg Cantor (3 de marzo de 1845-6 de enero de 1918) pasó la mayor parte de su vida en Alemania. El infinito le interesó desde joven, y siendo un treintañero publicó los artículos que desarrollaron su Teoría de conjuntos, en la que formalizó diversas ideas sobre el infinito matemático. Para Cantor, los conjuntos son colecciones de objetos que pueden poseer finitos o infinitos elementos. Por ejemplo, el conjunto de los dedos de una mano tiene finitos elementos ({pulgar, índice, corazón, anular y meñique}), mientras que el conjunto de los números naturales (N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}) tiene infinitos elementos. Cantor estableció el concepto de cardinal como el número de elementos que tiene un conjunto: siguiendo con el mismo ejemplo, el cardinal del conjunto de los dedos de una mano es cinco (5) y el cardinal del conjunto de los números naturales es infinito (∞). Su colega Richard Dedekind, con el que se carteó durante años, ya había considerado los conjuntos infinitos en 1872; pero Cantor, además, se dio cuenta de que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño. Es decir, hay conjuntos infinitos que poseen distintos cardinales.

Una separación

Por un tiempo, la ciencia y las matemáticas mantuvieron una relación muy íntima. Pero a mediados del siglo XIX, comenzaron a separarse.

El movimiento neohumanista de Wilhelm von Humboldt, que valoraba la educación por sí misma, en lugar de centrarse en objetivos utilitarios, alentó a los matemáticos en Alemania a pensar de forma más creativa, más imaginativa y de una manera más abstracta.

Gotinga era la meca de las matemáticas en ese tiempo, pero Cantor estaba en Halle.

Y en ninguna parte esto se puso en práctica más que en Gotinga.

Fue allá donde Carl Gauss comenzó a remodelar las matemáticas, desarrollando nuevas teorías de los números, y donde Bernhard Riemann empujó a la gente al hiperespacio, explorando mundos que nunca podrían verse.

Carl Gauss, el matemático que creó una de las herramientas más poderosas de la ciencia, apenas una de sus genialidades.

Riemann y los matemáticos que ayudaron a Einstein y sin los cuales la teoría de la relatividad no funcionaría.

Y fue ahí donde el siguiente gigante de las matemáticas alemanas, Georg Cantor, aspiraba hacer su investigación.

Una pregunta

A Georg Cantor le gustaba hacer preguntas difíciles.

En su tesis doctoral, escribió: "En matemáticas, el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas".

Antes de Cantor, se pensaba que el infinito estaba más allá de nuestra capacidad de comprensión.

Y para él, "la esencia de las matemáticas descansa por completo en la libertad"

Fue esa libertad la que provocó que Cantor se dirigiera en una dirección que potencialmente no tenía fin. Le atrajo la idea de tratar de capturar el infinito, algo que la mayoría de los matemáticos de la época creían imposible.

Pero, en opinión de Cantor, "el miedo al infinito es una forma de miopía que destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar de que en su forma más elevada nos ha creado y sostenido".

Él iba a llevar las matemáticas a mundos cada vez más abstractos, que incluso los matemáticos de Gotinga encontraron desagradables.

¿Un infinito?

Hasta entonces, todos los infinitos habían sido agrupados bajo un encabezado. Pero Cantor quería saber si algunos infinitos eran más grandes que otros.

Fue la pregunta con la que batalló toda su vida. Cuando finalmente resolvió lo aparentemente imposible, estaba absolutamente convencido de su validez.

No había un único infinito sino muchos, supo Cantor. Y luego se preguntó si todos los infinitos eran iguales.

El infinito podía ser domesticado y comprendido.

Para quienes tienen los conocimientos suficientes para poderlos apreciar, los teoremas que Cantor son hermosos.

No obstante, en su época, hasta el eminente matemático Leopold Kronecker, quien lo había entrenado en la Universidad de Berlín y debería haber sido su más importante defensor, los consideró como un carbunclo matemático.

Una pelea

Aun así, Cantor no dio cabida a las dudas.

"Mi teoría se mantiene tan firme como una roca; cada flecha dirigida contra ella regresará rápidamente a su arquero", afirmó.

Leopold Kronecker había sido su profesor, pero se convirtió en su tormento.

Kroneker insistió, implacable.

"No sé qué predomina en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero estoy seguro de que lo que no hay ahí es matemáticas".

En cierto sentido, Kronecker tenía razón, las ideas de Cantor rozaban la filosofía y llegarían a cuestionar los fundamentos mismos de las matemáticas.

Cantor se defendió escribiéndole directamente al ministro de Educación sobre el comportamiento de Kronecker.

"Yo sabía exactamente el efecto inmediato que esto tendría: que Kronecker se irritaría como si lo hubiera picado un escorpión, y con sus tropas de reserva provocaría tal aullido que Berlín pensaría que había sido transportado a los arenosos desiertos de África, con sus leones, tigres y hienas. ¡Parece que realmente logré ese objetivo!", escribió Cantor.

Pero sus comentarios no le ganaron simpatías en la comunidad matemática y comenzó a tener dificultades hasta para publicar sus ideas.

Un golpe de gracia

Poco después, recibió otro golpe, esta vez del influyente matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, quien además era editor de la importante revista matemática Acta Mathematica.

"Estoy convencido de que la publicación de su nuevo trabajo perjudicará enormemente su reputación entre los matemáticos. Sé muy bien que, básicamente, a usted eso le da lo mismo. Pero si su teoría es desacreditada, pasará mucho tiempo antes de que vuelva a conseguir la atención del mundo matemático", le advirtió.

La comunidad matemática en Gotinga se unió en su contra.

A Cantor le afectó profundamente el rechazo de un matemático al que respetaba mucho:

"De repente recibí una carta de Mittag-Leffler en la que escribió (para mi gran asombro) que, después de una seria consideración, consideró esta publicación como 'aproximadamente 100 años antes de tiempo'. De ser así, tendría que esperar hasta el año 1984, y eso me parece demasiado pedir", se lamentó.

Una lástima

La oposición de Mittag-leffler y Kronecker aseguró que Cantor nunca llegara a Gotinga: pasó el resto de sus días en los remansos de Halle, donde comenzó a sentirse cada vez más aislado.

"La visión [del infinito] que considero la única correcta es compartida por pocos. Aunque posiblemente yo sea el primero en la historia en tomar esta posición tan explícitamente, ¡estoy seguro de que no seré el último!".

Por brillantes que fueran, los infinitos de Cantor iban a tener que esperar... demasiado tiempo para él.

Sufría episodios de depresión maníaca y la controversia sobre sus matemáticas solo empeoró las cosas.

Y a su batalla con el establecimiento se le sumó la muerte de su madre, hermano e hijo menor.

Eventualmente, Cantor fue admitido en el hospital psiquiátrico en Halle donde pasó gran parte de las últimas décadas de su vida.

Cómo contar el infinito

Cantor, al que le gustaban las preguntas, pensaba en los números como la respuesta a la pregunta: ¿cuántos?

Su gran idea surgió de imaginar que solo teníamos 4 números: 1,2,3 y muchos.

Para que entendiéramos, nos llevó al mercado.

Imagínate que estás en un mercado. Tú tienes muchas monedas, el tendero tiene muchas naranjas.

Cantor se dio cuenta de que incluso si no podemos contar (porque el único número que tenemos más allá de 3 es "mucho"), aún podemos saber quién tiene más naranjas o monedas.

Lo que haríamos es emparejar la primera naranja con tu primera moneda, la siguiente naranja con tu segunda moneda, y así sucesivamente, hasta que...

 Tú te quedas sin monedas (el tendero tenía más naranjas)

 Él se queda sin naranjas (tú tenías más monedas)

 o ambos se quedan sin naranjas y monedas (tenían la misma cantidad).

1, 2, 3 y muchas monedas o naranjas.

Cantor aplicó la misma idea al concepto de infinito.

Descubrió, por ejemplo, que la infinidad de números enteros (1, 2, 3...) tiene el mismo tamaño que el infinito que consiste en números pares (2, 4, 6...).

Pero la sorpresa llegó cuando intentó emparejar números enteros con números decimales.

Esta vez encontró que siempre hay más números decimales que números enteros.

O dicho de manera más formal: la infinidad de todas las expansiones decimales infinitas de números es un tipo de infinito genuinamente más grande que la infinidad de números enteros.

Y no se detuvo.

Diagrama que muestra la prueba de emparejamiento de Cantor, que demostró que el conjunto infinito de números racionales es contable y tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que los números naturales (1, 2, 3 ...). Los números racionales incluyen las fracciones formadas a partir de los números naturales, pero se pueden contar utilizando el mismo método que el utilizado para contar los números naturales. Aquí, las fracciones racionales se cuentan a lo largo de las diagonales (flechas rojas) donde los números que forman la fracción suman 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente. Las fracciones racionales repetidas se muestran en azul. Por el contrario, los números reales (decimales infinitos) forman un conjunto infinito incontable.

Hay más de un infinito.

De hecho, hay infinitos infinitos.

Si todo esto de desconcierta un poco, ahora entiendes lo que le pasó a los contemporáneos de Cantor, entre ellos algunas de las mejores mentes matemáticas del siglo XIX.

Una pregunta, dos respuestas

Cantor nos mostró cómo seguir contando cuando llegamos al final de nuestros números.

Mostró que puede haber infinitos conjuntos de diferentes tamaños.

Y siguió encontrando más resultados extraños, como que no existe un conjunto que sea el más grande: dado un conjunto infinito, siempre se puede hacer uno más grande.

Pero la pregunta que realmente irritó a Cantor se refería a la naturaleza del conjunto infinito de números decimales.

Una pregunta que no tenía una respuesta.

Sí, es más grande que el conjunto de números enteros, pero ¿podría haber un conjunto intermedio?

Un día, probaba que sí, al día siguiente, demostraba lo contrario.

¿La razón? Ambas respuestas son correctas, como se demostró algunas décadas después, una revelación por la que varias áreas de las matemáticas entraron en crisis.

El infinito mostró el límite

Las ideas de Cantor sobre los infinitos llevaron al descubrimiento de que las matemáticas mismas tienen limitaciones.

El gran lógico austríaco Kurt Godel, inspirado por el problema de Cantor, demostró en la década de 1930 que hay afirmaciones sobre números que son ciertas pero que no se pueden probar.

¿Mente humana vs computadoras? Sólo necesitas recordar a Cantor para saber que el conocimiento humano no es computable.

Roger Penrose, famoso por su comprensión de las matemáticas de los agujeros negros, recientemente ha centrado su atención en el cerebro humano.

Y cree que las matemáticas de Cantor fueron el catalizador de nuevas ideas sobre lo que hace que nuestros cerebros sean especiales (y crucialmente diferentes de las computadoras).

"El argumento que Cantor usó para mostrar que algunos infinitos son más grandes que otros infinitos muestra que el conocimiento humano no es computable", destaca Penrose.

"Es extraño, pero lo que hacemos los humanos es algo que involucra consciencia, pues el conocimiento mismo implica nuestra percepción consciente", explica.

"No tiene mucho sentido decir que entiendes algo si no estás siquiera consciente de ello", le dijo a la BBC.

El paraíso

En los albores del siglo XX, los matemáticos comenzaron a reconocer el valor las asombrosas creaciones de Cantor.

David Hilbert, que estaba emergiendo como el principal matemático de su generación en el mundo, declaró que la obra de Cantor era "el producto más asombroso del pensamiento matemático, una de las realizaciones más bellas de la actividad humana en el dominio de lo puramente inteligible".

Tocar el infinito.

"Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros", destacó Hilbert.

Como dijo Mittag-Leffler, Cantor estaba adelantado 100 años a su tiempo.

Para mediados del siglo XX, lejos de ser criticado, el genio rechazado fue acogido por las matemáticas convencionales.

Y es que las ideas de Cantor son unas de las extraordinarias de la historia.

Les han permitido a los matemáticos tocar el infinito, jugar con él y finalmente reconocer que el infinito es un número. No sólo un número sino infinitamente muchos números.

Funciones Biunívocas

Podría parecer que el conjunto de los números naturales (N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}) comprende más elementos que el subconjunto que contiene de números primos (P = {2, 3, 5, 7, 11, 13…}). Sin embargo, Cantor demostró que los dos tienen el mismo cardinal, y por tanto el mismo número infinito de elementos. Para ello emparejó cada uno de los elementos que forman un conjunto con los elementos del otro, lo que se conoce como establecer una función biunívoca entre ambos conjuntos. En el caso de los naturales y los primos el emparejamiento podría ser 0-2, 1-3, 2-5, 3-7, 4-11, 5-13, …

Por el contrario, en una de sus demostraciones más famosas, Cantor comprobó que era imposible establecer una función biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los puntos que forman la recta real. Llegó así a la conclusión de que el cardinal del conjunto de los números reales era mayor que el de los números naturales: eran infinitos de distintos tamaños. Demostró aún más, que al cardinal infinito de los números reales le sigue otro mayor, y a su vez a este le sigue otro aún mayor, y así sucesivamente. Al más pequeño de todos estos cardinales infinitos, el cardinal de los números naturales, lo llamó Álef 0 (álef es la primera letra del alfabeto hebreo). A los siguientes los llamó Álef 1, Álef 2, Álef 3, etc. Todos estos cardinales de conjuntos infinitos se conocen por el nombre de cardinales transfinitos.

Algunos de los resultados de la Teoría de conjuntos eran realmente sorprendentes y chocaban contra la intuición, por lo que Cantor pidió en más de una ocasión a Dedekind que revisase sus demostraciones. También tuvo que invertir mucho esfuerzo en convencer a otros colegas matemáticos más escépticos. A raíz de sus descubrimientos, Cantor acabó desarrollando una aritmética transfinita completa, que equiparaba las operaciones de suma y multiplicación de los números naturales a los cardinales infinitos que definió. Cada número natural se puede identificar con el cardinal de un conjunto finito. Como decíamos, el 5 se puede identificar con el cardinal del conjunto de los dedos de una mano. Así, Cantor define las operaciones de suma y multiplicación de números como si fuesen operaciones entre los cardinales de conjuntos, ya sean finitos o infinitos.

Biografía

Cantor hacia 1870

Era hijo del comerciante Georg Waldemar Cantor y de Marie Böhm. Todos estos eventos provocaron que distintas naciones reclamaran como propio a Georg Cantor, después de su fallecimiento. La educación primaria de Georg Cantor fue inicialmente confiada a un profesor particular, pasando luego a la escuela elemental de San Petersburgo. Cuando la familia se mudó a Alemania, Cantor asistió a escuelas privadas de Fráncfort y Darmstadt hasta que a los quince años de edad ingresó al Instituto de Wiesbaden.

Los estudios universitarios de Georg Cantor se iniciaron en 1862 en Zúrich, pero al siguiente año, después de la muerte de su padre, pasó a la Universidad de Berlín donde se especializó en matemáticas, filosofía y física, aunque el interés del joven se centró en las dos primeras. Durante su estancia en Berlín, Cantor formó parte de un pequeño grupo de jóvenes matemáticos que se reunían semanalmente en una vinatería. Después de obtener su doctorado en 1867, Cantor fue maestro en una escuela de niñas en Berlín. Durante esta etapa, trabajó en su habilitación e inmediatamente después de que obtuvo una plaza en la Universidad de Halle en 1869, presentó su trabajo, de nuevo sobre teoría de números, y recibió su habilitación.

En Halle cambió la dirección de la investigación de Cantor de la teoría de números al análisis matemático. Esto se debió a Eduard Heine, uno de sus colegas mayores en Halle, quien desafió a Cantor a que probara el problema abierto sobre la unicidad de la representación de una función como una serie trigonométrica. Cantor resolvió el problema probando la unicidad de la representación en abril de 1870. Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier le llevaron al desarrollo de una teoría de los números irracionales y en 1874 apareció su primer trabajo sobre la teoría de conjuntos.

En esta época mantuvo una correspondencia sumamente interesante con Dedekind, en la que iban discutiendo las nuevas ideas y demostraciones de Cantor. Sin embargo, las relaciones entre Dedekind y Cantor encontraron problemas y tuvieron grandes altibajos. En 1873 Cantor probó que los números racionales son numerables, es decir, se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. También probó que los números algebraicos, son numerables.

Sin embargo, sus intentos por decidir si los números reales son numerables resultaron más difíciles. En diciembre de 1873 logró probar que el conjunto de los números reales no era numerable y en 1874 lo publicó en un artículo. En su trabajo de 1874, Cantor probó que en cierto sentido 'casi todos' los números son trascendentes, al probar que los números reales no son numerables, mientras que los números algebraicos sí lo son. El año 1874 fue importante en la vida personal de Cantor.

Se casaron el 9 de agosto de 1874 y pasaron su luna de miel en Interlaken, Suiza, donde Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Dedekind. Un importante artículo que Cantor envió al Journal de Crelle en 1877 fue tratado con suspicacia por Kronecker, y sólo fue publicado después de que Dedekind interviniera a favor de Cantor. Cantor quedó profundamente resentido por la oposición de Kronecker a su trabajo y nunca volvió a enviar un artículo más al Journal de Crelle. Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor.

Recientemente, sin embargo, una mejor comprensión de las enfermedades mentales ha llevado a asegurar que las preocupaciones matemáticas de Cantor y sus relaciones difíciles resultaban muy exageradas por su depresión, pero no eran la causa principal. Cantor presidio la primera reunión de la Asociación en Halle en septiembre de 1891 y, a pesar de su amargo antagonismo con Kronecker, Cantor lo invitó a dictar una conferencia en la primera reunión. Cantor resultó elegido presidente de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en la primera reunión, puesto que mantuvo hasta 1893. Sistematizó el conjunto ℝ de los números reales y usó el concepto de conjunto abierto.

Cada vez que Cantor sufría de períodos de depresión, tendía a alejarse de las matemáticas y a voltear hacia la filosofía y a su gran interés literario, pues creía que había sido Francis Bacon quien escribió las obras de Shakespeare. La muerte de su madre en octubre de 1896 y la de su hermano menor en 1899 impusieron más presión sobre la salud de Cantor. En octubre de 1899, Cantor solicitó y obtuvo un permiso para ausentarse de la docencia durante el semestre de invierno de 1899-1900. Cantor pasó algunas temporadas en sanatorios, cuando sufrió los peores ataques de su enfermedad, de 1899 en adelante.

Cantor se retiró en 1913 y pasó sus últimos años enfermo y con poco alimento por causa de la Guerra en Alemania. Un importante encuentro planeado en Halle para celebrar los setenta años de Cantor en 1915 tuvo que cancelarse por causa de la guerra, pero una celebración más pequeña se llevó a cabo en su casa. Georg Cantor falleció en Halle, Alemania, el 6 de enero de 1918 a los setenta y dos años de edad de un ataque cardíaco.

Referencias

[1]	D. A. Mosquera, «OPENMIND,» 03 29 2019. [En línea]. Available: https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/georg-cantor-el-hombre-que-descubrio-distintos-infinitos/. [Último acceso: 09 02 2023].